Propociciones compuestas.
En términos generales una proposición compuesta es la unión de dos o más proposiciones simples enlazadas por uno o más conectivos lógicos y su valor de verdad es la veracidad o falsedad de esta.

Negación de una proposición simple.
La negación es una proposición compuesta que contiene el conectivo lógico “no” la cual cambia el valor de verdad de otra proposición dada. Resulta al anteponer una de las siguientes frases “no es verdad que”, “no es cierto que”, “es falso que” a una proposición, o intercalando en la proposición la palabra no antes del verbo.

Si \(p\) es la proposición simple “está lloviendo” entonces la negación de \(p\) denotada como \(\sim p\) puede tener cualquiera de las siguientes formas.
\(\sim p\): no está lloviendo.
\(\sim p\): no es cierto que está lloviendo.
\(\sim p\): no es verdad que está lloviendo.
\(\sim p\): es falso que está lloviendo.

Como una proposición \(p\) puede ser verdadera o falsa, es posible escribir estos resultados a modo de tabla, lo cual suele llamarse tabla de verdad (más adelante se muestran su detalle), esta es una tabla de doble entrada donde se asigna al valor verdadero la letra V (si es en inglés la \(t\)) o el número uno, y al valor falso la letra F o el número cero. La negación es un operador lógico que cambia la funcionalidad del valor de entrada. Para la negación la tabla puede realizarse en cualquiera de las formas siguientes.

Nota: aunque se ha usado mayúscula para la construcción de la tabla de verdad, en nada influye el uso de minúscula para los fines, además no es necesario realizar la tabla en las dos manera, basta con una sola.

Conjunción.
La conjunción es una proposición compuesta formada por dos proposiciones enlazadas por el conectivo lógico “y” que es verdadera solo cuando ambas proposciones que la forman son verdaderas. Es denotada como \(p\land q\) lo cual se lee “pe y cu”. Así dada \(p\): hoy es domingo; \(q\): vamos al parque. La conjunción de ellas está dada por:
\(p\land q\): “hoy es domingo y vamos al parque”
Al utilizar uno y cero es posible considerar la conjunción como un operador lógico de multiplicación para \(1=V~{\rm y}~ 0=F\) de donde resulta tal que \(p\cdot\ q=r\) su tabla de verdad se escribe en una de estas formas,

Disyunción inclusiva.
La disyunción inclusiva o simplemente disyunción es una proposición compuesta formada por dos proposiciones enlazadas por el conectivo lógico “o” denotada por \(p\vee q\) lo cual se lee “pe o cu” que solo es falsa cuando ambas proposiciones que la componen. Así sea \(p\): hoy es domingo. \(q\): vamos al parque, su disyunción denotada como es \(p\vee q=r\) es “hoy es domingo o vamos al parque”. Al utilizar uno y cero es posible considerar la disyunción como un operador lógico de adición para \(1=V~{\rm y}~ 0=F\), de donde la tabla de verdad resulta en una de las maneras siguientes.

Disyunción exclusiva.
La disyunción exclusiva es una proposición compuesta formada por dos proposiciones enlazadas por el conectivo lógico “O…o…” denotada por \(p⊻q\), que solo es verdadera cuando las proposiciones que la componen tienen distinto valor de verdad. Así para \(p\): hoy es domingo. \(q\): vamos al parque. La disyunción exclusiva de ellas es,
\(p⊻q\): O hoy es domingo, o vamos al parque.
Al considerador la disyunción exclusiva como un operador lógico de suma especial, dado por \(p\ \bigoplus\ q=r\) lo cual se lee "pe o exclusivo cu" y se define en la manera sigueinte,
\(p\ \bigoplus\ q=0\) si \(p\) y \(q\) tienen valores iguales y para valores distintos
\(p \bigoplus\ q=1\) si \(p\) y \(q\) tienen valores iguales y para valores iguales.
La tabla de verdad de esta proposición es como sigue.

La implicación o condicional.
Es una proposición compuesta formada por dos proposiciones enlazadas por el conectivo lógico “si… entonces…” denotada como \(p\longrightarrow q\) lo cual se lee “si pe entonces cu”, la cual solo es falsa cuando la primera proposición llamada antecedente o hipótesis es verdadera y la segunda llamada consecuente o conclusión es falsa, es decir solo es falsa cuando la primera es verdadera y la segunda es falsa.

Así por ejemplo para las proposiciones \(p\): jugar pelota es divertido. \(q\): nadar en la playa es el final. La implicación de \(p\) hacia \(q\) denotada como \(p\longrightarrow q\) quiere decir “si jugar pelota es divertido, entonces nadar en la playa es el final”. La tabla de verdad de la implicación puede realizarse en una de las maneras siguientes.

Aunque no existe una compuerta lógica comercial estándar para la implicación esta se puede construir fácilmente al combinar las compuertas básicas \(~p\vee q\) (no pe o cu), así que se obtiene al conectar una compuerta NOT a la entrada \(p\), enviando el resultado, junto con \(q\), a una compuerta OR. Más adelante se demostrará esta equivalencia.

Bicondicional, doble implicación o equivalencia.
Es una proposición formada por dos proposiciones enlazadas por el conectivo lógico “si y solo si” denotada por \(p\longleftrightarrow q\) (pe si y solo si cu), solo es verdadera cuando las proposiciones que la componen tienen igual valor de verdad. Es decir, es verdadera cuando las dos son verdaderas o cuando las dos son falsas.

Dadas las proposiciones, \(p\): jugar pelota es divertido. \(q\): nadar en la playa es el final, la doble implicación de ellas denotada como \(p\longleftrightarrow q\) es “jugar pelota es divertido si y solo si nadar en la playa es el final”. Su tabla de verdad puede tener una de las forma siguientes.

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Aplicaciones cotidianas.
Algunas aplicaciones directa de la lógica se encuentran en el campo de la electricidad, en la realización de los circuitos en series y paralelos. En la figura se tienen dos posiciones diferentes de un interruptor, un circuito formado por una batería, un interruptor y un resistor ¿el interruptor está encendido o apagado? La figura dos muestra dos circuitos más completos que el anterior ¿cuándo el foco está encendido?

En el campo de la electrónica están las llamadas compuertas lógicas (dispositivos encargados de realizar operaciones fundamentados de una o varias entradas para producir una única salida) las cuales son elementos básicos de la electrónica digital, cuyo funcionamiento consiste en la interpretación de señales eléctricas basadas en los principios de las proposiciones compuesta a través del uso de la lógica booleana donde por lo general la entrada “1” es verdadero y “0” es falso.

Compuerta Not o inversor. Es un elemento fundamental encargado de invertir la señal de entrada, así si la entrada es un “1” con valor encendido, la salida es un “0” con valor apagado. Ejerce la función del operador lógico no, y por lo general es usada además de la inversión de señales digitales, en decodificadores, inversores CMOS, lógica de microprocesadores, multiplexores, osciladores de cristal, entre otros.

Compuerta AND.
Se encarga de la habilitación de señales digitales cuando todas las entradas son verdaderas, actuando como un multiplicador lógico \((p\cdot q=r)\). Su uso suele estar relacionado con sistemas de seguridad, unidades aritméticos-lógicas conocidas como ALU en computación, señales de controles, detención de errores y paridad, y en sentido genera en múltiples casos de automatización industrial. En una tabla de valores los valores de esta compuerta son identicos a la tabla de la conjunción.

Compuerta OR.
Es una compuerta lógica la cual genera una salida si al menos una de sus entradas es verdadera, funcionando como una suma lógica donde \(p+q=r\) cuyo uso por lo general está unidades aritméticos lógicas ALU, en sistemas de alarmas, de seguridad-votación donde se activa la salida si una o más entradas ocurren si importar el orden.

Compuerta XOR.
La compuerta XOR también llamada compuerta de diferencia exclusiva denotada como \(p\ \bigoplus\ q=r\), cuya salida es un uno, solo si una de las entradas es uno y la otra cero, es usada en circuitos digitales para el proceso de aritmética binaria. Su acción está basada en la operación binaria, por lo general para detención de paridad, criptografía, inversor controlado, comparador de igualdades, entre otros.

Algunas veces se tienen combinaciones de la compuerta lógica NOT y otra compuerta lógica, dando origen a una nueva compuerta lógica como se muestra en la figura de más bajo, donde las compuertas NAND, NOR y XNOR son el resultado de combinar la compuerta NOT con las compuertas AND, OR y XOR. Se debe notar la simbología usada, cuando la compuerta NOT se combina con otra compuerta lógica, al símbolo se agrega un pequeño círculo al final.

Compuerta xnor
En el caso de la implicación o condiconal no existe una compuerta lógica directa que ejerza su función, pero aunque no existe una compuerta lógica comercial estándar para la implicación, esta se puede construir fácilmente al combinar las compuertas básicas \(~p\vee q\) (no pe o cu), así que se obtiene al conectar una compuerta NOT a la entrada \(p\), enviando el resultado, junto con \(q\), a una compuerta OR. Más adelante se demostrará esta equivalencia. A diferencia de la condicional, si existe una compuerta lógica de comercialización estándar para la bicondicional la cual es llamada compuerta XNOR (o NOR exclusiva). Su función es exactamente la de un bicondicional y suele ser representada en los diagramas de circuitos mediante el símbolo de una compuerta XOR con un círculo en la salida para indicar la negación. El dispositivo físico comercial más famoso se conoce como el circuito integrado 74HC266, el cual es un circuito formado por cuatro compuertas lógicas XNOR con salidas de colector abierto.

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